Du musst deine übergebenen Variablen, so wie es eigentlich bei PHP immer sein sollte, richtig abfragen:
aus $submit wird $_POST['submit']
Also alle Variablen die du per method="Post" weitergibst musst du dann auch so verarbeiten.
Das ist eigentlich PHP Standard nur die meisten PHP Installationen lassen es auch ohne $_POST/$_GET zu ... Typo nicht 🙂